شرح درس الأعداد المركبة (Complex Numbers) في الرياضيات
الأعداد المركبة (Complex Numbers) هي أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات التي تُمثل امتدادًا للأعداد الحقيقية، حيث تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. تُستخدم هذه الأعداد في العديد من التطبيقات العلمية والهندسية، مثل تحليل الدوائر الكهربائية وحل المعادلات التفاضلية. شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات
تعريف العدد المركب
العدد المركب يُكتب عادةً بالصيغة:
[ z = a + bi ]
حيث:
- a هو الجزء الحقيقي (Real Part).
- b هو الجزء التخيلي (Imaginary Part).
- i هي الوحدة التخيلية، حيث ( i^2 = -1 ).
الأساسيات المتعلقة بالأعداد المركبة
الجمع والطرح: عند جمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل.
مثال:
[ (3 + 2i) + (1 - 4i) = (3+1) + (2i-4i) = 4 - 2i ]
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات
الضرب: نستخدم خاصية التوزيع مع الأخذ في الاعتبار أن ( i^2 = -1 ).
مثال:
[ (2 + 3i) \times (1 - i) = 2 \times 1 + 2 \times (-i) + 3i \times 1 + 3i \times (-i) ]
[ = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i - 3(-1) = 5 + i ]
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات
القسمة: نقوم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام لإزالة الجزء التخيلي من المقام.
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات
مثال:
[ \frac{ 1 + i}{ 2 - i} = \frac{ (1 + i)(2 + i)}{ (2 - i)(2 + i)} = \frac{ 2 + i + 2i + i^2}{ 4 - i^2} = \frac{ 1 + 3i}{ 5} = \frac{ 1}{ 5} + \frac{ 3}{ 5}i ]
التمثيل الهندسي للأعداد المركبة
يمكن تمثيل العدد المركب كنقطة في المستوى الإحداثي (يُسمى مستوى الأعداد المركبة أو مستوى أرجاند)، حيث:
- المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي.
- المحور الرأسي يمثل الجزء التخيلي.
الصيغة القطبية للأعداد المركبة
يمكن التعبير عن العدد المركب باستخدام الزاوية والمُعامل (الطول) كالتالي:
[ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ]
حيث:
- r هو المقدار (Modulus) ويُحسب بـ ( r = \sqrt{ a^2 + b^2} ).
- θ هي الزاوية (Argument) وتُحسب بـ ( \theta = \tan^{ -1}\left(\frac{ b}{ a}\right) ).
تطبيقات الأعداد المركبة
تستخدم الأعداد المركبة في:
- الهندسة الكهربائية لتحليل دوائر التيار المتردد.
- معالجة الإشارات والتحليل الطيفي.
- الميكانيكا الكمية حيث تلعب دورًا أساسيًا في معادلات الموجة.
الخاتمة
الأعداد المركبة تُعد أداة رياضية قوية تُسهل حل العديد من المسائل المعقدة. فهمها يتطلب إدراك العلاقة بين الجزأين الحقيقي والتخيلي، بالإضافة إلى تطبيقاتها العملية في العلوم والهندسة.
شرحدرسالأعدادالمركبةComplexNumbersفيالرياضيات
